Đại số tuyến tính Ví dụ

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{4}{z} = 1$ , $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{8}{z} = 0$ , $- \frac{1}{x} + \frac{9}{y} + \frac{10}{z} = 5$

Bước 1

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia $1$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.2

Chia $2$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.3

Chia $4$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \cdot 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.4

Nhân $- 1$ với $4$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.5

Chia $2$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.6

Chia $3$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.7

Chia $8$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.8

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.8.2

Viết lại biểu thức.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 \cdot 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.10

Chia $9$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

Bước 2.11

Chia $10$ cho $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Bước 2.12

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.12.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ để số tại $2, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & 8 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 1 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Bước 2.12.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

Bước 2.13

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.13.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ để số tại $3, 1$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 9 + 1 \cdot 2 & 10 - 4 & 5 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

Bước 2.13.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Bước 2.14

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 1$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{2}$ với $- 1$ để số tại $2, 2$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 16 & - - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Bước 2.14.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

Bước 2.15

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ để số tại $3, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 & 6 - 11 \cdot - 16 & 6 - 11 \cdot 2 \end{array}]$

Bước 2.15.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 182 & - 16 \end{array}]$

Bước 2.16

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{182}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.16.1

Nhân mỗi phần tử của $R_{3}$ với $\frac{1}{182}$ để số tại $3, 3$ trở thành $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ \frac{0}{182} & \frac{0}{182} & \frac{182}{182} & \frac{- 16}{182} \end{array}]$

Bước 2.16.2

Rút gọn $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.17

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.17.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ để số tại $2, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 + 16 \cdot 0 & 1 + 16 \cdot 0 & - 16 + 16 \cdot 1 & 2 + 16 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.17.2

Rút gọn $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.18

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.18.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ để số tại $1, 3$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & 2 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.18.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{59}{91} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.19

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.19.1

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ để số tại $1, 2$ trở thành $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{59}{91} - 2 (\frac{54}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 2.19.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x = - \frac{7}{13}$

$y = \frac{54}{91}$

$z = - \frac{8}{91}$

Bước 4

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(- \frac{7}{13}, \frac{54}{91}, - \frac{8}{91})$

Bước 5

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{7}{13} \\ \frac{54}{91} \\ - \frac{8}{91} \end{array}]$